Blogger Tips And Tricks|Latest Tips For Bloggers Free Backlinks

воскресенье, 28 мая 2017 г.

Լրացուցիչ առաջադրանքներ



1. Հնարավո՞ր է արդյոք չափանի տախտակը ծածկել չափանի պատկերներով այնպես, որ բոլոր վանդակներն էլ ծածկվեն ու ընդ որում միայն մեկ անգամ:


2. Ապացուցել, որ

թիվը բաժանվում է -ի:


3.Գոյություն ունի՞ արդյոք այնպիսի n բնական թիվ, որի համար թիվն առանց մնացորդի բաժանվի -ի:
Ապացուցել, որ ցանկացած եռանիշ թիվ և նույն թվի հակառակ կարգով գրված եռանիշ թվի տարբերությունը բաժանվում է 9-ի:


4.Ուղտը քայլում է շախմատի տախտակի վրա (1;3) տիպի քայլերով, այսինքն գնում է 1 քայլ որևէ ուղությամբ, այնուհետև 3 քայլ դրան ուղղահայաց ուղղությամբ(ձին քայլում է (1;2) տիպի քայլերով): 
Սկսելով որևէ վանդակից կարող է արդյոք ուղտը մի քանի քայլ հետո հայտնվել սկզբնական վանդակի հարևան վանդակում (հարևան են համարվում ընդհանուր կողմ ունեցող վանդակները):


5.Լուծել հավասարումը ամբողջ թվերով.

 6Մեքենան ամբողջ ճանապարհը կարող է անցնել 27 ժամում: Ճանապարհ 1/3 մասն անցնելուց հետո նա իր արագությունը նվազեցրեց  40%-ով և այդ արագությամբ շարժվեց մինչև վերջնակետը: Պարզել, թե որքա՞ն ժամանակում մեքենան անցավ ամբողջ ճանապարհը:


7.Առաջին խողովակից լողավազանը լցվում է12 ժամում, իսկ երկրորդից 30ժամում: Առաջին խողովակը փոխարինեցին  60%-ով ավելի դանդաղ աշխատող խողովակով, իսկ երկրորդ խողովակը փոխարինեցին 

50%-ով ավելի արագ աշխատող խողովակով: Պարզել, թե որքա՞ն ժամանակում կլցնեն լողավազանը նոր խողովակները, եթե աշխատեն միաժամանակ:


8.Մեքենան ճանապարհի ուղիղ կեսն անցնելուց հետո արագությունը մեծացրեց 25%-ով և տեղ հասավ նախատեսվածից  30 րոպե շուտ։ Մեքենան քանի՞ րոպե է գտնվել ճանապարհին։


9.Հայտնի է, որ թվի թվանշանների տեղերը փոխելիս այն մեծանում է անգամ: Ապացուցել, որ ստացված թիվը բաժանվում է  -ի:



10.Պարզեցնել արտահայտությունը.




a23+a9a2a23a+27+a33a:(3+a23a)

(125a2+a4a+13(5a4))15a12a+7

(5aa9+42aa218a+81)a2815a39(a+9)a9




11 . Քանի՞ եղանակով է հնարավոր շախմատի 8×8տախտակի վրա տեղադրել  2 տարբեր գույնի նավակ, որ հարվածեն միմյանց (նավակը շարժվում է հորիզոնական կամ ուղղահայաց): 

12.
Թվի զույգություն: Զույգության վարքը թվաբանական գործողությունների ժամանակ
Սահմանում — Զույգ են կոչվում այն ամբողջ թվերը, որոնք բաժանվում են -ի:

a թվի զույգ լինելը կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ 

Սահմանում — Կենտ են կոչվում այն ամբողջ թվերը, որոնք առանց մնացորդի չեն բաժանվում -ի:

Համաձայն սահմանման, ցանկացած ամբողջ թիվ կա՛մ կենտ է, կա՛մ զույգ: Նկատենք, որ 0 թիվը զույգ է: Կենտ թվերը երկուսի բաժանելիս մնացորդում տալիս են :
Զույգ թվերը ներկայացվում են  տեսքով, որտեղ -ը ամբողջ թիվ է։ Կենտ թվերը ներկայացվում են  տեսքով: Իրոք, 18-ը կարելի է ներկայացնել  տեսքով, իսկ -ը՝  տեսքով:

Թվի զույգ կամ կենտ լինելու հատկությունը մարդկանց հետաքրքրել է շատ վաղուց։ Որոշ քաղաքակրթություններում զույգ թվերին վերագրվել են գերբնական հատկություններ: Թվի զույգությունը պարզել՝ նշանակում է որոշել, թե զո՞ւյգ է այն արդյոք, թե կենտ: Բոլորիս քաջ հայտնի է թվի զույգությունը որոշելու հետևյալ հայտանիշը — եթե թվի վերջին թվանշանը զույգ է, ապա թիվը զույգ է, իսկ եթե թվի վերջին թվանշանը կենտ է, ապա թիվը կենտ է: Այսինքն զույգ են այն թվերը, որոնք վերջանում են -ով, -ով, -ով, -ով կամ -ով:

Օրինակ —  թիվը զույգ է, քանի որ վերջանում է  թվանշանով:

Սահմանում — Կասենք, որ երկու թիվ ունեն միևնույն զույգությունը, եթե նրանք կա՛մ միաժամանակ զույգ են, կա՛մ միաժամանակ կենտ: Հակառակ դեպքում կասենք, որ նրանք ունեն տարբեր զույգություններ:

Օրինակ —  և թվերն ունեն միևնույն զույգությունը, իսկ և թվերը՝ տարբեր:

Իմանալով երկու թվերի զույգությունը՝ հնարավոր է պարզել նրանց գումարի, տարբերության և արտադրյալի զույգությունը: Ստորև բերված աղյուսակում նշված է թվերի հետ գործողություններ անելիս ստացված արդյունքի զույգությունը: Պարզության համար զույգ թիվը նշված է Զ տառով, իսկ կենտ թիվը Կ-ով:

ԶԶ=Զ,      ԶԶ=Զ,     ԶԶ=Զ,
ԶԿ=Կ,      ԶԿ=Կ,     ԶԿ=Զ,
ԿԶ=Կ,      ԿԶ=Կ,     ԿԶ=Զ,
ԿԿ=Զ,      ԿԿ=Զ,     ԿԿ=Կ,
Զ+Զ=Զ նշանակում է, որ զույգ թվին գումարելով զույգ թիվ արդյունքում կրկին կստացվի զույգ թիվ:

Վերոնշյալ աղյուսակի առաջին և երկրորդ սյունակներից նկատում ենք հետևյալ օրինաչափությունը.

Թեորեմ — Երկու ամբողջ թվերի գումարն ու տարբերությունն ունեն միևնույն զույգությունը:

Ապացույց — Թեև աղյուսակից պարզ երևում է, որ թեորեմի պնդումը ճիշտ է, այնուամենայնիվ ներկայացնենք մեկ այլ ապացույց՝ օգտագործելով հակասող ենթադրության սկզբունքը: Ենթադրենք, թե պնդումը սխալ է, այսինքն՝ երկու թվերի գումարն ու տարբերությունը կարող են ունենալ տարբեր զույգություններ: Դիցուք a և b ամբողջ թվերի համար x=a+b և y=ab թվերից մեկը զույգ է, իսկ մյուսը կենտ: Այդ դեպքում
x+y=(a+b)+(ab)=2a,
գումարը կլինի զույգ, քանի որ ներկայացվեց 2a տեսքով: Ստացանք, որ կենտ և զույգ թվերի գումարը զույգ է, ինչն անհնար է: Այսպիսով, մեր ենթադրությունը, որ այդպիսի a և b թվեր գոյություն ունեն, սխալ էր: Թեորեմն ապացուցված է:

Թեորեմ — Կենտ թիվը չի բաժանվում զույգ թվի:

Ապացույց — Կրկին կատարենք հակասող ենթադրություն՝ համարելով, որ գոյություն ունեն այնպիսի a կենտ և b զույգ թվեր, որոնց համար ab: Այդ հարաբերության արժեքը նշանակենք c: Քանի որ c-ն ամբողջ թիվ է և a÷b=c, ապա a=bc: Ստացանք, որ a կենտ թիվը հավասար է b զույգ թվի և cամբողջ թվի արտադրյալին: Անկախ c-ի արժեքից՝ bc արտահայտության արժեքը լինելու է զույգ թիվ, այսինքն չի կարող հավասար լինել a կենտ թվին, այսինքն՝ ստացանք սխալ առնչություն: Հետևաբար, a և b թվերի գոյության վերաբերյալ մեր ենթադրությունը սխալ էր: Պնդումն ապացուցված է:
Վարժություններ
1.  Պարզել  և  բնական թվերի զույգ կամ կենտ լինելու բոլոր հնարավոր դեպքերը, եթե հայտնի է, որ նրանց
  1. գումարը զույգ է,
  2. գումարը կենտ է,
  3. արտադրյալը կենտ է,
  4. արտադրյալը զույգ է:
2.  Երկու բնական թվերի արտադրյալը բազմապատկում են այդ թվերի տարբերությամբ: Կարո՞ղ է արդյոք արդյունքում ստացվել 29657143։
3. Իրար կողք գրված 1-ից մինչև  թվերի միջև դրվում է «+» կամ «-» նշանը և հաշվվում ստացված արտահայտության արժեքը: Պարզել՝
  1. զո՞ւյգ, թե կենտ կլինի արտահայտության արժեքը, եթե թվերի միջև դրվի միայն «+» նշանը,
  2. հնարավո՞ր է արդյոք «+» կամ «-» նշանների այնպիսի հաջորդականություն, որ արտահայտության արժեքը հավասար լինի 0-ի:
4.  Հնարավո՞ր է արդյոք  չափանի տախտակը ծածկել  չափի դոմինոներով:

5.  Հնարավո՞ր է արդյոք  չափանի տախտակը ծածկել  չափի դոմինոներով այնպես, որ ոչ մի վանդակ չծածկվի մեկից ավելի դոմինոյով:

6. Գտնել երկու այնպիսի պարզ թիվ, որոնց և՛ գումարը, և՛ տարբերությունը նույնպես պարզ թվեր են:
7.  և  դասարաններում սովորում է միևնույն քանակությամբ աշակերտ: Երկու դասարաններում միաժամանակ անց կացված հարցման արդյունքում պարզվեց, որ -րդ դասարանցիների մեջ ֆուտբոլ սիրողների քանակը -ով մեծ է ֆուտբոլ չսիրողների քանակից: Ապացուցել, որ ոչ բոլոր աշակերտներն են մասնակցել հարցմանը:

8.  Կարո՞ղ է արդյոք միայն չորսերից բաղկացած թիվը բաժանվել միայն երեքներից բաղկացած թվի: Իսկ հակառա՞կը:

9.  Արմենը գնեց  թերթանի տետր և նրա բոլոր էջերը համարակալեց -ից մինչև : Խաչիկը տետրից պոկեց  թերթ և գումարեց այդ թերթերի վրա գրված բոլոր թվերը: Կարո՞ղ է արդյոք գումարման արդյունքում Խաչիկը ստանալ :

10.  Հնարավո՞ր է արդյոք սկսելով  վանդակից՝ ձիու քայլերով հասնել վանդակին, յուրաքանչյուր վանդակում լինելով ճիշտ մեկ անգամ։

11. Հնարավո՞ր է արդյոք գծել կողմ ունեցող բեկյալ, որի յուրաքանչյուր կողմ հատում է ճիշտ մեկ այլ կողմի:

12. Հնարավո՞ր է արդյոք գծել կողմ ունեցող բեկյալ, որի յուրաքանչյուր կողմ հատում է ճիշտ մեկ այլ կողմի:
13.  Գրատախտակին գրված է ամբողջ թիվ: Ապացուցել, որ թվերի այդ շարքից կարելի է ջնջել մեկ թիվ այնպես, որ մնացած թվերի գումարը լինի զույգ թիվ: Ճի՞շտ է արդյոք նույն պնդումը թվի դեպքում:

14.  հատ ամբողջ թվերի արտադրյալը հավասար է : Ապացուցել, որ նրանց գումարը չի կարող  լինել:
15.  Հնարավո՞ր է արդյոք -ից մինչև  բնական թվերը բաժանել մի քանի խմբերի այնպես, որ յուրաքանչյուր խմբի ամենամեծ թիվը հավասար լինի այդ խմբի մնացած թվերի գումարին:

16. Գրատախտակին գրված են -ից մինչև  թվերը: Թույլատրվում է ջնջել այդ թվերից որևէ երկուսը և փոխարենը գրել նրանց տարբերությունը: Այդ գործողությունը կատարվում է այնքան անգամ մինչև գրատախտակին մնա մեկ թիվ: Հնարավո՞ր է արդյոք որ այդ թիվը լինի 
-ն:

17. Սեղանին դրված են մետաղադրամների խումբ, ընդ որում առաջին խմբում կա հատ մետաղադրամ, երկրորդում՝ , երրորդում՝ , չորրորդում՝ , հինգերորդում՝  իսկ վեցերորդում՝  հատ մետաղադրամ: Թույլատրվում է յուրաքանչյուր քայլում խմբերից որևէ երկուսում ավելացնել մեկական մետաղադրամ: Հնարավո՞ր է արդյոք, որ ինչ որ քայլից հետո բոլոր խմբերում լինեն հավասար քանակությամբ մետաղադրամներ:


18.   քարտերի վրա գրված են -ից մինչև  բոլոր թվերը (յուրաքանչյուր քարտի վրա գրված է մեկ թիվ): Քարտերը խառնում, շրջում են և նրանց մաքուր կողմի վրա նորից գրում են -ից մինչև թվերը: Այնուհետև յուրաքանչյուր քարտի երկու կողմերում գրված թվերը գումարում են իրար, որից հետո ստացված բոլոր թվերը բազմապատկում իրար: Ապացուցել, որ արդյունքում կստացվի զույգ թիվ:

19.  աղյուսակի յուրաքանչյուր վանդակում գրված է ամբողջ թիվ այնպես, որ յուրաքանչյուր տողում գրված թվերի արտադրյալը բացասական է: Ապացուցել, որ կգտնվի աղյուսակի այնպիսի սյունակ, որում գրված բոլոր թվերի արտադրյալը նույնպես կլինի բացասական: Ճի՞շտ է արդյոք խնդիրը աղյուսակի դեպքում: Պատասխանը հիմնավորել:

20.  Շրջանաձև դասավորված են  բնական թվեր: Ապացուցել, որ հնարավոր է ընտրել իրար կողք գրված երկու թվեր այնպես, որ նրանց գումարը լինի զույգ թիվ:

21. Տրված են  բնական թվեր, ընդ որում նրանցից յուրաքանչյուր երեքի գումարը զույգ թիվ է: Ապացուցել, որ բոլոր թվերն էլ զույգ են:

22.  Դասարանում կա  աշակերտ: Կարո՞ղ է արդյոք այնպես պատահել, որ նրանցից -ը ընկերություն անի  համադասարանցիների հետ, -ը՝  համադասարանցիների հետ, իսկ -ը՝  համադասարանցիների հետ: Համարել, որ ընկերություն անելը փոխադարձ է, այսինքն եթե Բաբկենն ընկերություն է անում Նարեկի հետ, ապա Նարեկն էլ ընկերություն է անում Բաբկենի հետ:

Ինվարիանտ և նրա կիրառությունները
  Նախքան այս հոդվածն ընթերցելը առաջարկում ենք կարդալ Զույգություն թեման և լուծել համապատասխան վարժությունները:

  Դիտարկենք երկու օրինակ:
  Օրինակ 1 — Սեղանին դրված է կոպեկների երկու կույտ, ընդ որում՝ նրանցից առաջինում կա  հատ կոպեկ, երկրորդում՝՝  հատ: Յուրաքանչյուր քայլի թույլատրվում է կույտերից յուրաքանչյուրում ավելացնել մեկական կոպեկ: Հնարավո՞ր է արդյոք այնպես անել, որ որոշակի քայլերից հետո երկու կույտերում էլ լինեն հավասար քանակությամբ կոպեկներ:
  Լուծում — Ակնհայտ է, որ եթե կույտերից յուրաքանչյուրում ավելացնենք մեկական կոպեկ, ապա նրանցում կլինեն  և  հատ կապեկ: Եթե գործողությունը կատարենք ևս մեկ անգամ, ապա կոպեկների քանակը կդառնա  և , և այսպես շարունակ: Կույտերում կոպեկների քանակը երբեք հավասար չի դառնա, որովհետև երկրորդ կույտում միշտ կլինի  հատով ավելի կոպեկ:

  Օրինակ 2 — Սեղանին դրված է  բաժակ՝ այնպես, որ բոլորի հատակները կպչում են սեղանին: Յուրաքանչյուր քայլի թույլատրվում է ընտրել բաժակ և պտտել (եթե հատակը կպչում է սեղանին, ապա շրջել, իսկ եթե շրջված է, ապա դնել այնպես, որ հատակը կպչի սեղանին): Հնարավո՞ր է արդյոք այնպես անել, որ որոշակի քայլերից հետո բոլոր բաժակները հայտնվեն շրջված դիրքում: 
  Լուծում — Մեծ է գայթակղությունը սեղանին շարել  բաժակ և փորձել մի քանի քայլում բոլոր բաժակները շրջել: Փորձե՛նք իրականացնել: Մի քանի փորձից հետո համոզվում ենք, որ կարծես այդքան էլ հեշտ չէ. միշտ մի բաժակ խանգարում է: 
  Ապացուցենք, որ ինչպես էլ անենք, հնարավոր չի լինի բոլոր բաժակները շրջել: Դրա համար հաշվենք ամեն քայլից հետո շրջված բաժակների քանակը: Սկզբում նրանց քանակը  է: Առաջին քայլից հետո կունենանք շրջված բաժակ: Երկրորդ քայլի համար ունենք տարբեր հնարավորություններ: Կարող ենք շրջված բաժակները ուղղել, կարող ենք մի բաժակ ուղղել և մի բաժակ շրջել, կարող ենք երկու բաժակն էլ շրջել: Առաջին դեպքում շրջված բաժակների քանակը կնվազի երկուսով, երկրորդ դեպքում՝ կմնա նույնը, երրորդ դեպքում՝ կավելանա երկուսով: Այսինքն արդյունքում կունենանք  կամ  շրջված բաժակ: Երրորդ քայլը կատարելիս կրկին նույն ընտրության առաջ ենք՝ կամ երկու հատ ուղղել, կամ մեկը շրջել ու մյուսը ուղղել, կամ երկուսն էլ շրջել: Ամեն դեպքում էլ շրջված բաժակների քանակը կա՛մ կմնա նույնը, կա՛մ կավելանա երկուսով, կա՛մ էլ կնվազի երկուսով: Այսինքն արդյունքում կունենանք  կամ  շրջված բաժակ: Եվ այսպես շարունակ: Ինչպես նկատում ենք, յուրաքանչյուր քայլից հետո շրջված բաժակների քանակը զույգ թիվ է, քանի որ սկզբից այն զույգ էր ( հատ), իսկ ամեն քայլից հետո կամ նույնն է մնում, կամ էլ փոխվում է երկու հատով: Այժմ դիտարկենք այն դիրքը, որը ցանկանցում ենք ստանալ (բոլոր բաժակները շրջված են): Այս դեպքում շրջված բաժակների քանակը  է, այսինքն՝ կենտ: Իսկ մենք արդեն համոզվել ենք, որ ամեն քայլից հետո շրջված բաժակների քանակը զույգ է: Այստեղից էլ եզրակացնում ենք, որ բոլոր բաժակները միաժամանակ շրջված լինել չեն կարող:

  Սահմանում — Ինվարիանտ է կոչվում այն մեծությունը, որը տրված քայլերի, գործողությունների արդյունքում մնում է հաստատուն (չի փոխվում):
  Մեր դիտարկած առաջին օրինակում ինվարիանտի դերը կատարում է կույտերում եղած կոպեկների քանակների տարբերությունը (հավասար է  և չի կարող դառնալ ), իսկ երկրորդ օրինակում՝ շրջված բաժակների զույգությունը, այսինքն -ի բաժանելիս ստացվող մնացորդը:
1.Ունենք  թվերը: Ամեն քայլին կարելի է կամայական երկուսին գումարել : Հնարավո՞ր է արդյոք որոշակի քայլերի հաջորդականությամբ ստանալ եռյակը:
2. 
Ունենք թվերի քառյակը: Ամեն քայլին թույլատրվում է ընտրել իրար կողք գրված երկու թվեր և նրանց գումարել : Ապացուցել, որ անհնար է քայլերի հաջորդականությամբ -ից ստանալ :



0 коммент.:

Отправить комментарий